Metode Simpleks

Metode Simpleks

Pengantar

Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks.  Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1).

Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya :

1. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.
2. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas  dalam sistem persamaan.
3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan  pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama  dengan  jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).
4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas  awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.
5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan  pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.
6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan  dari model matematik kendala untuk mengkonversikan  pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.
7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas.
8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).
9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.
10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.
11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.
12. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iiterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.

BENTUK BAKU

Sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk menentukan solusi optimal, pertama sekali bentuk umum pemrograman linier dirubah ke dalam bentuk baku terlebih dahulu. Bentuk baku dalam metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan, tetapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel basis awal. Variabel basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada aktivitas yang dilakukan. Dengan kata lain, variabel keputusan semuanya masih bernilai nol. Dengan demikian, meskipun fungsi kendala pada bentuk umum pemrograman linier sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap berubah.

Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat  bentuk baku, yaitu :

1. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack.
2. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus dan menambahkan satu variabel artificial.
3. Fungsi kendala dengan persamaan dalam benttuk umum,ditambahkan satu artificial variabel (variabel buatan).

Perhatikan kasus A berikut  :

Fungsi tujuan : minimumkan z = 2 x₁ + 5.5 x₂

Kendala :

x₁ + x₂ = 90

0.001 x₁ + 0.002 x₂ ≤ 0.9

0.09 x₁ + 0.6 x₂ ≥ 27

0.02 x₁ + 0.06 x₂ ≤ 4.5

x₁, x₂ ≥ 0

Bentuk di atas adalah bentuk umum pemrograman liniernya. Kedalam bentuk baku, model matematik tersebut akan berubah menjadi :

Fungsi tujuan :

minimumkan z = 2 x₁ + 5.5 x₂+ 0.S₁+0. S₂+0. S₃+ M.A₄+ M.A₂

Kendala :

x₁ + x₂ + A₁ = 90

0.001 x₁ + 0.002 x₂ + S₁ = 0.9

0.09 x₁ + 0.6 x₂ – S₂ + A₂ = 27

0.02 x₁ + 0.06 x₂ + S₃ = 4.5

Fungsi kendala pertama mendapatkan variable buatan (A₁), karena bentuk umumnya sudah menggunakan bentuk persamaan. Fungsi kendala kedua dan keempat  mendapatkan variabel slack (S₁ dan S₃) karena bentuk umumnya menggunakan  pertidaksamaan ≤, sedangkan fungsi kendala ketiga mendapatkan variabel surplus (S₂) dan variabel buatan (A₂) karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan ≥.

Perhatikan pula kasus B berikut ini :

Maksimumkan z = 2x₁ + 3x₂

Kendala :

10 x₁ + 5 x₂ ≤ 600

6 x₁ + 20 x₂ ≤ 600

8 x₁ + 15 x₂ ≤ 600

x₁, x₂ ≥

Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum. Perubahan ke dalam bentuk baku hanya membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umumnya. Maka bentuk bakunya adalah sebagai berikut :

Maksimumkan z = 2x₁ + 3x₂ + 0s₁ + 0s₂ + 0s₃

Kendala :

10 x₁ + 5 x₂ + S₁ = 600

6 x₁ + 20 x₂ + S₂ = 600

8 x₁ + 15 x₂ + S₃ = 600

S₁ , S₂ , S₃ merupakan  variable slack.

PEMBENTUKAN TABEL SIMPLEKS

Dalam perhitungan iterative, kita akan bekerja menggunakan tabel. Bentuk baku yang sudah diperoleh, harus dibuat ke dalam bentuk tabel.

Semua variabel yang bukan variabel basis mempunyai solusi (nilai kanan) sama dengan nol dan koefisien variabel basis pada baris tujuan harus sama dengan 0. Oleh karena itu kita harus membedakan pembentukan tabel awal berdasarkan variabel basis awal. Dalam sub bab ini kita hanya akan memperhatikan fungsi kendala yang menggunakan variabel slack dalam bentuk bakunya, sedangkan yang menggunakan variabel buatan akan dibahas pada sub bab lainnya.

Gunakan kasus B di atas, maka tabel awal simpleksnya adalah :

Var Dasar	Cj	X1	X2	S1	S2	S3	Konstanta
		2	3	0	0	0
S1	0	10	5	1	0	0	600
S2	0	6	20	0	1	0	600
S3	0	8	15	0	0	1	600
	Zj	0	0	0	0	0	0
	Zj - Cj	-2	-3	0	0	0

LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN

Langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut :

1. Periksa apakah tabel optimum atau tidak. Tabel dikatakan optimum apabila tidak ada nilai Z_j - C_j ( masalah maksimalisasi) atau nilai C_j - Z_j ( masalah minimalisasi) yang negatif. Apabila ada yang negatif maka tabel simplek diperbaiki ( Langkah 2 – 5)
2. Tentukan kolom pivot.

Penentuan kolom pivot ditentukan dari nilai nilai Z_j - C_j ( masalah maksimalisasi) atau nilai C_j - Z_j ( masalah minimalisasi) yang negatif terkecil

3. Tentukan baris pivot.

Baris pivot dipilih dari nilai rasio konstanta/nilai kolom pivot yang positif terkecil

4. Tentukan elemen pivot.

Elemen pivot merupakan nilai yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot.

5. Bentuk tabel simpleks baru.

Tabel simpleks baru dibentuk dengan pertama sekali menghitung nilai baris pivot baru. Baris pivot baru = baris pivot lama/elemen pivot.

Baris baru lainnya = baris lama - nilai kolom pivot baris yang bersangkutan dikali baris pivot baru

Selesaikan kasus berikut ini menggunakan metode simpleks :

Maksimum z = 8 x₁ + 9 x₂ + 4x₃

Kendala :

x₁ + x₂ + 2x₃ ≤ 2

2x₁ + 3x₂ + 4x₃ ≤ 3

7x₁ + 6x₂ + 2x₃ ≤ 8

x₁,x₂,x₃ ≥ 0

Penyelesaian :

Bentuk bakunya adalah :

Maksimum Z = 8 x₁ + 9 x₂ + 4x₃ + 0S₁ + 0S₂ + 0S₃

Kendala :

x₁ + x₂ + 2x₃ + s₁  = 2

2x₁ + 3x₂ + 4x₃ + s₂ = 3

7x₁ + 6x₂ + 2x₃  + s₃ = 8

Solusi / table awal simpleks :

Var Dasar	Cj	X1	X2	X3	S1	S2	S3	Kuantitas
		8	9	4	0	0	0
S1	0	1	1	2	1	0	0	2
S2	0	2	3	4	0	1	0	3
S3	0	7	6	2	0	0	1	8
	Zj	0	0	0	0	0	0	0
	Zj - Cj	-8	-9	-4	0	0	0

Karena nilai negative terkecil  ada pada kolom X₂, maka kolom X₂ adalah kolom pivot dan X₂ adalah variabel masuk. Rasio pembagian nilai kanan  dengan kolom pivot terkecil adalah 1 bersesuaian  dengan  baris s₂, maka baris s₂ adalah baris pivot dan s₂ adalah varisbel keluar. Elemen pivot adalah 3.

Var Dasar	Cj	X1	X2	X3	S1	S2	S3	Kuantitas	Rasio
		8	9	4	0	0	0
S1	0	1	1	2	1	0	0	2	2/1=2
S2	0	2	3	4	0	1	0	3	3/3=1
S3	0	7	6	2	0	0	1	8	8/6=4/3
	Zj	0	0	0	0	0	0	0
	Zj - Cj	-8	-9	-4	0	0	0

Iterasi 1

Nilai pertama yang kita miliki adalah nilai baris  pivot baru (baris x₂). Semua nilai pada baris s₂ pada tabel solusi awal dibagi dengan 3 (elemen pivot).

Var Dasar	Cj	X1	X2	X3	S1	S2	S3	Kuantitas
		8	9	4	0	0	0
S1	0
X2	9	2/3	3/3	4/3	0/3	1/3	0/3	3/3
S3	0
	Zj
	Zj - Cj

Perhitungan nilai baris baru yang lainnya :

Baris s₁ :

            1          1          2          1          0          0          2

     1   (2/3        1          4/3       0          1/3       0          1 ) -

            1/3       0          2/3       1          -1/3      0          1

Baris s3 :

            7          6          2          0          0          1          8

      6 ( 2/3        1          4/3       0          1/3       0          1 ) -

            3          0          -6         0          -2         1          2

Maka tabel iterasi 1 ditunjukkan tabel di bawah. Selanjutnya kita periksa apakah tabel sudah optimal atau belum. Karena nilai baris z di bawah variabel x₁ masih negatif, maka tabel belum optimal. Kolom dan baris pivotnya ditandai pada tabel di bawah ini :

Var Dasar	Cj	X1	X2	X3	S1	S2	S3	Kuantitas
		8	9	4	0	0	0
S1	0	1/3	0	2/3	1	-1/3	0	2
X2	9	2/3	1	4/3	0	1/3	0	3
S3	0	3	0	-6	0	-2	1	8
	Zj	6	9	12	0	3	0	27
	Zj - Cj	-2	0	8	0	3	0

VB	X1	X2	X3	S1	S2	S3	NK	Rasio
Z	-2	0	8	0	3	0	9	-
S1	1/3	0	2/3	1	-1/3	0	1	3
X2	2/3	1	4/3	0	1/3	0	1	3/2
S3	3	0	-6	0	-2	1	2	2/3

Iterasi 2 :

Var Dasar	Cj	X1	X2	X3	S1	S2	S3	Kuantitas	Rasio
		8	9	4	0	0	0
S1	0	1/3	0	2/3	1	-1/3	0	2	3
X2	9	2/3	1	4/3	0	1/3	0	3	3/2
S3	0	3	0	-6	0	-2	1	8	2/3
	Zj	6	9	12	0	3	0	27
	Zj - Cj	-2	0	8	0	3	0

Variabel masuk  dengan demikian adalah X₁ dan variabel  keluar adalah S₃ . Hasil Iterasi ke 2 sbb:

Var Dasar	Cj	X1	X2	X3	S1	S2	S3	Kuantitas	Rasio
		8	9	4	0	0	0
S1	0	0	0	4/3	1	-1/9	-1/9	7/9	3
X2	9	0	1	8/3	0	7/9	-2/9	5/9	3/2
X1	8	1	0	-2	0	-2/3	1/3	2/3	2/3
	Zj	8	9	8	0	5/3	2/3	31/3
	Zj - Cj	0	0	4	0	5/3	2/3

Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan !

Perhitungan dalam simpleks menuntut ketelitian  tinggi, khususnya jika angka yang digunakan adalah pecahan. Pembulatan harus diperhatikan dengan baik. Disarankan jangan menggunakan bentuk bilangan desimal, akan lebih teliti jika menggunakan bilangan pecahan. Pembulatan dapat menyebabkan iterasi lebih panjang atau bahkan tidak selesai karena ketidaktelitian dalam melakukan pembulatan.

Perhitungan iteratif dalam simpleks pada dasarnya merupakan pemeriksaan satu per satu titik-titik ekstrim layak pada daerah penyelesaian. Pemeriksaan dimulai dari kondisi nol (dimana semua aktivitas/variabel keputusan bernilai nol). Jika titik ekstrim berjumlah n, kemungkinan terburuknya kita akan melakukan perhitungan iteratif sebanyak n kali.